Inégalité des moyennes
Explorez la relation entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique.
Choisir les valeurs
À retenir :
Pour a,b > 0, la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique.
Pour a,b > 0, la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique.
Calcul en temps réel
Moyenne arithmétique
$M_A = \dfrac{a+b}{2}$
6.50
Moyenne géométrique
$M_G = \sqrt[2]{ab}$
6.00
Écart
MA − MG
0.50
MA ≥ MG
Moyenne arithmétique
Moyenne géométrique
Pourquoi ?
Comme $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$, on obtient $a + b \ge 2\sqrt{ab}$. En divisant par 2 : $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
Pour n nombres positifs, l’inégalité générale est : $\dfrac{a+b+c+\cdots}{n} \ge \sqrt[n]{abc\cdots}$. L’égalité est obtenue lorsque toutes les valeurs sont égales.
Comme $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$, on obtient $a + b \ge 2\sqrt{ab}$. En divisant par 2 : $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
Pour n nombres positifs, l’inégalité générale est : $\dfrac{a+b+c+\cdots}{n} \ge \sqrt[n]{abc\cdots}$. L’égalité est obtenue lorsque toutes les valeurs sont égales.